Question

Исследуйте ряд на сходимость (если что "n+1" в скобках)

Answer 1

Ответ:

область сходимости $x \in (-8;8)$

Пошаговое объяснение:

$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{nx^n}{8^n(n+1)}$ - функциональный степенной ряд

Пусть  $\bigg|u_n(x)\bigg|=\frac{n\big|x^n\big|}{8^n(n+1)}$, Пусть  $\bigg|u_{n+1}(x)\bigg|=\frac{(n+1)\big|x^{n+1}\big|}{8^{n+1}(n+2)}$

Найдём предел: $\lim\limits_{n \to \infty}\bigg|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\bigg|= \lim\limits_{n \to \infty}\Bigg(\frac{(n+1)\big|x\big|^{n+1}}{8^{n+1}(n+2)}} \times \frac{8^n(n+1)}{n\big|x\big|^n}\Bigg)$

$= \frac{\big|x\big|}{8}$

$\big|x\big|<8\\-8<x<8$

Пусть $x=8$

$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{n8^n}{8^n(n+1)}$ - знакоположительный ряд

$\sum\limits_{n=0}^\infty\Bigg(1-\frac{1}{(n+1)}\Bigg)$ - ряд расходится по достаточному признаку расходимости, т.к. предел равен 1

Пусть $x=-8$

$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n(-1)^n8^n}{8^n(n+1)}$ - знакочередующийся ряд.ряд расходится по достаточному признаку расходимости, т.к. предел равен 1

Ответ: область сходимости $x \in (-8;8)$