Question

Исследовать сходимость ряда, пользуясь признаком сравнения :
1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2

Answer 1

$a_n=\frac{1}{n^2}\sim b_n=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.$

Ряд $\sum b_n$ сходится, так как существует конечный предел его частичных сумм:

$S=\lim\limits_{n\to \infty}S_n=\lim\limits_{n\to \infty}(b_1+\ldots + b_n)=\lim\limits_{n\to \infty}(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=$

$=\lim\limits_{n\to \infty}(1-\frac{1}{n+1})=1.$

Поэтому ряд $\sum a_n$ сходится по признаку сравнения в предельной форме.

Замечание. Можно было воспользоваться и другим признаком сравнения, воспользовавшись для любого $n>1$ неравенством

$a_n=\frac{1}{n^2}<\frac{1}{(n-1)n}.$