Question

Решить уравнение, указать корни принадлежащие отрезку [2π;7π/2]

$9^{cosx} + 9^{-cosx} = \frac{10}{3}$

Answer 1

Ответ:

решение представлено на фото

Answer 2

Ответ: 7π/3; 8π/3; 10π/3

Пошаговое объяснение:

$9^{cosx}+9^{-cosx}=\frac{10}{3} \\ \\ 9^{cosx}+\frac{1}{9^{cosx}}=\frac{10}{3} \\ \\t=9^{cosx}\\ \\ t+\frac{1}{t}=\frac{10}{3}\\ \\ \frac{3t^2-10t+3}{3t}=0\\\\t\neq 0\\ 3t^2-10t+3=0\\ \\ \sqrt{D}=\sqrt{100-3\cdot3\cdot4} =\sqrt{64}=8\\ \\ t_1=\frac{10-8}{6}=\frac{1}{3} \\ \\t_2=\frac{10+8}{6}=3\\ \\ \\ 9^{cosx}=\frac{1}{3}\\9^{cosx}=3\\ \\ cosx=-\frac{1}{2} \\ cosx=\frac{1}{2}\\ \\ \\ x=б\frac{2\pi}{3} +2\pi k\\ \\ x=б\frac{\pi}{3} +2\pi k\\ \\ OTBET:б\frac{2\pi}{3} +2\pi k;б\frac{\pi}{3} +2\pi k;k \in Z$

Данное множество корней можно записать другим, более коротким способом:

$\frac{\pi}{3}+\pi k; \frac{2\pi}{3}+\pi k;$

Отбор корней:

$2\pi\leq \frac{\pi}{3}+\pi k\leq \frac{7\pi}{2} \\ \\ 2\pi-\frac{\pi}{3}\leq \frac{\pi}{3}+\pi k-\frac{\pi}{3}\leq \frac{7\pi}{2}-\frac{\pi}{3} \\ \\ \frac{5\pi}{3} \leq \pi k\leq \frac{19\pi}{6}\\ \\ \frac{5}{3} \leq k\leq \frac{19}{6}\\ \\ k_1=2 \rightarrow x_1=\frac{\pi}{3}+\pi \cdot2=\frac{7\pi }{3} \\ \\ k_2=3 \rightarrow x_2=\frac{\pi}{3}+\pi \cdot3=\frac{10\pi}{3}$

$2\pi\leq \frac{2\pi}{3}+\pi k\leq \frac{7\pi}{2} \\ \\ 2\pi-\frac{2\pi}{3}\leq \frac{2\pi}{3}+\pi k-\frac{2\pi}{3}\leq \frac{7\pi}{2}-\frac{2\pi}{3} \\ \\ \frac{4\pi}{3}\leq \pi k\leq \frac{17\pi}{6} \\ \\ \frac{4}{3}\leq k\leq \frac{17}{6} \\ \\ k_3=2\rightarrow x_3=\frac{2\pi}{3}+\pi \cdot2=\frac{8\pi}{3}$