Question

y''-4y'+8y=(1+2x)e^x
помогите решить

Answer 1

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения

$y''-4y'+8y=0$

Пусть $y=e^{\lambda x}$, получим характеристическое уравнение

$\lambda^2-4\lambda+8=0~~~\Longleftrightarrow~~~~(\lambda-2)^2=-4~~\Longrightarrow~~~\lambda=2\pm2i$

Общее решение однородного дифференциального уравнения:

$y^*=e^{2x}(C_1\cos 2x+C_2\sin2x)$

Рассмотрим функцию $f(x)=(1+2x)e^x$, здесь полином $P_n(x)=1+2x~~\Rightarrow~~ n=1$ и $\alpha =1$. Сравнивая α с корнями характеристического уравнения и принимая во внимая, что n = 1, частное решение будем искать в виде:

$y^{**}=(Ax+B)e^x$

Вычислим первые две производные функций:

$y'=(Axe^x+Be^x)'=Ae^x+Axe^x+Be^x\\ y''=Ae^x+Ae^x+Axe^x+Be^x=2Ae^x+Be^x+Axe^x$

Подставим теперь в исходное уравнение и при этом разделим обе части уравнения на $e^x$, получим

$2A+B+Ax-4(A+Ax+B)+8(Ax+B)=1+2x\\ 2A+B+Ax-4A-4Ax-4B+8Ax+8B=1+2x\\ 5Ax-2A+5B=2x+1$

Приравниваем коэффициенты при степенях х:

$\displaystyle \left \{ {{-2A+5B=1} \atop {5A=2}} \right. ~~~\Longrightarrow~~~\left \{ {{B=\dfrac{9}{25}} \atop {A=\dfrac{2}{5}}} \right.$

Частное решение: $y^{**}=\left(\dfrac{2}{5}x+\dfrac{9}{25}\right)e^x$

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

$y=y^*+y^{**}=e^{2x}(C_1\cos 2x+C_2\sin2x)+\left(\dfrac{2}{5}x+\dfrac{9}{25}\right)e^x$