Математически обоснуйте: может ли быть квадратом двузначного числа четырёхзначное , у которого первая цифра совпадает с третьей , а вторая с четвёртой.30 баллов на кону!
Ответы
Ответ: Нет, не может
Пошаговое объяснение:
Допустим, существует такое четырехзначное число, удовлетворяющее задаче.
Четырехзначное число можно представить в виде суммы сомножителей
N = a + 10b + 100c + 1000d
Или
N = 1000d + 100с + 10b + a
где a,b,c,d - цифры на месте единиц, десятков, сотен и тысяч соответственно.
У нас по условию совпадают:
1я и 3я цифры (обозначим как х);
2я и 4я цифры(обозначим как у).
Значит, наше число выглядит так:
N = 1000х + 100у + 10х + у
Преобразование:
N = 1000x + 10x + 100y + y =
= (1000x + 10x) +(100y + y)
Для наглядности домножим на 1, "где нужно":
N = (100•10x + 1•10x) + (100•y + 1•y) =
= (100+1)•10x + (100+1)•y =
= (100+1)•(10x+y) = 101(10х+у)
Как известно, любое число можно единственным способом представить в виде разложения на простые множители, причем некоторые из множителей могут присутствовать несколько раз:
M = a^k • b^m • c^n ...
(где a,b,c... простые).
Квадрат любого числа - состоит из тех же простых множителей a,b,c..., что и само число.
М^2 = М•М =
=(a^k • b^m • c^n...)•(a^k • b^m • c^n...) =
= a^2k • b^2m • c^2n...
101 - это простое число, и оно трехзначное. По условию задачи наше четырехзначное число - квадрат двузначного. НО!
!!! НИКАКОЕ ДВУЗНАЧНОЕ ЧИСЛО НЕ МОЖЕТ ИМЕТЬ ТРЕХЗНАЧНОГО ЧИСЛА В КАЧЕСТВЕ ОДНОГО ИЗ МНОЖИТЕЛЕЙ, НА КОТОРЫЕ ОНО РАЗЛАГАЕТСЯ !!!
Мы пришли к противоречию, невозможной ситуации.
Следовательно предположение, сделанное изначально - неверно.
И такого четырехзначного квадрата двузначного числа, как требуется в условии, не существует.
Ч.Т.Д