Question

На рисунке BD ⊥ (ACD), AB ⊥ AC, CD = 6 см, AC = 2√6 см, прямая BC наклонена к плоскости ACD под углом 45°.

а) Определите, какой угол является углом между плоскостями ABC и ACD, и докажите это

б) Найдите градусную меру этого угла

Answer 1

Ответ:

Градусная мера угла между плоскостями ABC и ACD равна 60°.

Объяснение:

На рисунке BD ⊥ (ACD), AB ⊥ AC, CD = 6 см, AC = 2√6 см, прямая BC наклонена к плоскости ACD под углом 45°.

а) Определите, какой угол является углом между плоскостями ABC и ACD, и докажите это;

б) Найдите градусную меру этого угла.

Дано: BD ⊥ (ACD),

AB ⊥ AC,

CD = 6 см, AC = 2√6 см,

BC наклонена к плоскости ACD под углом 45°.

Найти: угол между плоскостями ABC и ACD.

Решение:

а)

• Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.

AB ⊥ AC (условие)

• Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

⇒ АС ⊥  AD

∠BAD - угол между плоскостями ABC и ACD.

б)

1. Рассмотрим Δ ACD - прямоугольный.

По теореме Пифагора найдем AD:

AD² = CD² - AC² = 36 - 24 = 12

AD = √12 = 2√3 (см)

2. Рассмотрим ΔCBD.

BD ⊥ (ACD) (условие)

• Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости.

⇒ ΔCBD - прямоугольный.

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠CBD = 90° - 45° = 45°

• Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

⇒ CD = DB = 6 см.

3. Рассмотрим ΔABD - прямоугольный.

• Тангенсом угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

$\displaystyle tg\angle{BAD}=\frac{BD}{AD} =\frac{6}{2\sqrt{3} } =\frac{3}{\sqrt{3} } =\sqrt{3}$

⇒ ∠BAD = 60°.

Градусная мера угла между плоскостями ABC и ACD равна 60°.

#SPJ1