Question

Вычислить двойной интеграл по области D. Область интегрирова-ния D изобразить на чертеже. Решить задачу вторым способом поменяв порядок интегрирования.

Answer 1

$\displaystyle \int\limits^1_0dy\int\limits^1_{\sqrt{y}}(xy-4x+2y-1)dx=\int\limits^1_0\left[\left(\frac{x^2y}{2}-2x^2+2yx-x\right)\bigg|^1_{\sqrt{y}}\right]dy\\ \\ \\ =\int\limits^1_0\left(\frac{y^2}{2}-2y+2y\sqrt{y}-\sqrt{y}\right)dy=\left(\frac{y^3}{6}-y^2+\dfrac{4y^{5/2}}{5}-\dfrac{2y^{3/2}}{3}\right)\bigg|^1_0=\\ \\ =\dfrac{1}{6}-1+\dfrac{4}{5}-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{7}{10}$