Question

Найдите все значения параметра p из множества простых чисел,чтобы уравнение $6x^2-12x+3=p(x-2)$ имело хотя бы один целый корень и докажите,что для любых других значения параметра p это условие будет неверно.

P.S методом отбора нахожу,но не могу доказать,что кроме них других не существует

Answer 1

$6x^2-12x+3=p(x-2)\\ 6x(x-2)-p(x-2)+3=0\\ (x-2)(6x-p)+3=0\\ \\ 6x-p=-\dfrac{3}{x-2}~~~~\Rightarrow~~~p=\dfrac{3}{x-2}+6x$

Уравнение имеет целый корень, если

$x-2=\pm1~~~~\Rightarrow~~~ x_1=3;~~~~ x_2=1\\ x-2=\pm 3~~~\Rightarrow~~~~ x_3=5;~~~~x_4=-1$

Подставляя эти корни, получим

$p_1=\dfrac{3}{3-2}+6\cdot3=21$ — не простое

$p_2=\dfrac{3}{1-2}+6\cdot1=-3+6=3$ — простое

$p_3=\dfrac{3}{5-2}+6\cdot5=1+30=31$ — простое

$p_4=\dfrac{3}{-1-2}+6\cdot(-3)=-1-18=-19$ — не натуральное.

Для остальных x≠2 дробь $\dfrac{3}{x-2}\notin \mathbb{Z}$

Ответ: при p=3; p=31.