Question

Вычислить пределы функций, используя второй замечательный предел:

Answer 1

$1) \lim\limits _{x \to \infty}\Big (\frac{4x^2-3}{4x^2+1}\Big )^{1-2x^2}=\lim\limits _{x \to \infty}\Big (\Big (1+\frac{-4}{4x^2+1}\Big )^{\frac{4x^2+1}{-4}}\Big )^{\frac{-4(1-2x^2)}{4x^2+1}}=\\\\=e^{\lim\limits _{x \to \infty}\frac{8x^2-4}{4x^2+1} }=e^{\frac{8}{4} }=e^2$

$2)\; \; \lim\limits _{x \to \infty}\Big (\frac{3x^3+7}{3x^3-1}\Big )^{1-x^3}=\lim\limits _{x \to \infty}\Big (\Big (1+\frac{8}{3x^3-1}\Big )^{\frac{3x^3-1}{8}}\Big )^{\frac{8(1-x^3)}{3x^2-1}}=\\\\=e^{\lim\limits _{x \to \infty}\frac{-8x^2+8}{3x^2-1} }=e^{-\frac{8}{3} }$

$3)\; \; \lim\limits _{x \to \infty}\Big (\frac{6x-7}{6x+20}\Big )^{x-3}=\lim\limits _{x \to \infty}\Big (\Big (1+\frac{-27}{6x+20}\Big )^{\frac{6x+20}{-27} }\Big )^{\frac{-27(x-3)}{6x+20} }=\\\\=e^{ \lim\limits _{x \to \infty}\frac{-27x+81}{6x+20} }=e^{-\frac{27}{6} }=e^{-\frac{9}{2} }$

$4)\; \; \lim\limits _{x \to \infty}\Big (\frac{3x^2-4}{3x^2-10}\Big )^{2x^2+1}=\lim\limits _{x \to \infty}\Big (\Big (1+\frac{6}{3x^2-10}\Big )^{\frac{3x^2-10}{6} }\Big )^{\frac{6(2x^2+1)}{3x^2-10} }=e^{4}$