Question

Решите линейное неоднородное уравнение
y"+6y'+9y=36x(e)^3x

Answer 1

$y''+6y'+9y=36xe^{3x}$

Решим характеристическое уравнение.

$k^2+6k+9=0\\(k+3)^2=0=>k_{1,2}=-3$

Составим решение однородного уравнения.

$y_{o.o}=C_1e^{-3x}+C_2xe^{-3x}$

Теперь находим недостающую часть.

$\overline{y}=Ae^{3x}+Be^{3x}x\\\overline{y'}=3Ae^{3x}+Be^{3x}+3Be^{3x}x\\\overline{y''}=9Ae^{3x}+3Be^{3x}+3Be^{3x}+9Be^{3x}x=9Ae^{3x}+B(6e^{3x}+9e^{3x}x)\\9Ae^{3x}+B(6e^{3x}+9e^{3x}x)+6(3Ae^{3x}+Be^{3x}+3Be^{3x}x)+9(Ae^{3x}+Be^{3x}x)=36e^{3x}x\\(36A+12B)e^{3x}+36Be^{3x}x=36e^{3x}x\\\left \{ {{36A+12B=0} \atop {36B=36}} \right.;\left \{ {{A=-\frac{1}{3} \atop {B=1}} \right.\\y_{_O._H}=C_1e^{3x}+C_2e^{-3x}+e^{3x}x-\frac{e^{3x}}{3}$