Question

Помогите пожалуйста решить,очень нужно!!!
Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить
закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.
Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое
отклонение и функцию распределения числа отказавших элементов в
одном опыте.

Answer 1

Объяснение:

Пусть вероятность отказа одного элемента p = 0.1, тогда вероятность того, что один элемент не откажет q = 1 - p

Вероятность того, что откажет x элементов обозначим Pₓ:

P₀ = q·q·q = 0.9³ = 0.729

P₁ = p·q·q + q·p·q + q·q·p = 3 · 0.1 · 0.9 · 0.9 = 0.243

P₂ = p·p·q + p·q·p + q·p·p = 3 · 0.1 · 0.1 · 0.9 = 0.027

P₃ = p·p·p = 0.1³ = 0.001

Получаем закон распределения числа отказавших элементов:

$\textbf{\begin{array}{ccccc}\textbf{X}_i&0&1&2&3\\ {P_i}&0.729&0.243&0.027&0.001\end{array}}$

Математическое ожидание:

$M(X) = \sum_{i=1}^{4}x_i\cdot p_i=0\cdot 0.729+1\cdot 0.243+2\cdot 0.027 + 3\cdot 0.001 = \textbf{0.3}$

Дисперсия:

$D(X) = M(X^2)-(M(X))^2$

Посчитаем MX²:

$M(X^2) = \sum_{i=1}^{4}x_i^2\cdot p_i=0^2\cdot 0.729+1^2\cdot 0.243+2^2\cdot 0.027 + 3^2\cdot 0.001 = \textbf{0.36}$

D(X) = 0.36 - 0.3² = 0.27

Среднеквадратическое отклонение:

σₓ = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52

Функция распределения F(x):

1) Если X ≤ 0, то F(x) = P{X < 0} = 0

2) Если 0 < X ≤ 1 , то F(x) = P{X < x} = P{X = 0} = 0.729

3) Если 1 < X ≤ 2, то F(x) = P{X = 0} + P{X = 1} = 0.729 + 0.243 = 0.972

4) Если 2 < X ≤ 3, то F(x) = P{X = 0} + P{X = 1} + P{X = 2} = 0.972 + 0.027 = 0.999

5) Если X > 3, то F(x) = P{X = 0} + P{X = 1} + P{X = 2} + P{X = 3} = 0.999 + 0.001 = 1

То есть получаем кусочно-заданную функцию

$F(x)=\left\{ \begin{array}{lllll}0, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;X\leq 0\\0.729,\;\;0 < X \leq 1\\0.972,\;\;1<X\leq 2\\0.99,\;\;\;\;2<X\leq 3\\1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;X>3\end{array}$