Question

Помогите решить дифференциальное уравнение высших порядков, используя метод понижения степени. Зарание спасибо.

x^5*y'''+x^4*y''=1

Answer 1

Понизим порядок степени заменой $y''=z;~~~ y'''=z'$, получим:

$x^5z'+x^4z=1~~|:x^5~~~~~\Longleftrightarrow~~~ z'+\dfrac{z}{x}=\dfrac{1}{x^5}$

Домножим левую и правую части уравнения на множитель:

$\mu (x)=e^{\int\frac{dx}{x}}=e^{\ln x}=x$,  получим

$xz'+z=\dfrac{1}{x^4}\\ \\ (zx)'=\dfrac{1}{x^4}\\ \\ xz=\displaystyle \int \dfrac{dx}{x^4}=-\dfrac{1}{3x^3}+C_1\\ \\ z=-\dfrac{1}{3x^4}+\dfrac{C_1}{x}$

Возвращаемся к обратной замене:

$y''=-\dfrac{1}{3x^4}+\dfrac{C_1}{x}\\ \\ y'=\displaystyle \int\left(-\dfrac{1}{3x^4}+\dfrac{C_1}{x}\right)dx=\dfrac{1}{9x^3}+C_1\ln|x|+C_2\\ \\ y=\int \left(\dfrac{1}{9x^3}+C_1\ln|x|+C_2\right)dx=-\dfrac{1}{18x^2}+C_1x\left(\ln |x|-1\right)+C_2x+C_3$

P.S. интеграл ln|x| посчитаете сами по частям.