Question

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями.

Answer 1

Даны 2 функции: $y=(x-2)^3$ и $y=\sqrt{4-x}$.

первая - кубическая парабола, сдвинутая на 2 единицы  в область положительных значений аргумента, функция возрастает,

вторая - ветвь параболы по оси Ох, функция убывает.

Это означает, что графики этих функций пересекаются внутри заданной области, фигура состоит из двух частей.

Находим крайние точки фигуры как точки пересечения с осью Ох при у = 0.

Правая точка. √(4 - x) = 0, возводим в квадрат обе части: х = 4.

Левая точка. (x - 2)^3 = 0, извлекаем кубический корень из обеих частей: х = 2.

Теперь находим точку пересечения: (x - 2)^3 = √(4 - x). Отсюда видно, что корень равен х = 3.

Теперь можно определить искомую площадь как сумму двух интегралов: $S = \int\limits^3_2 {(x-2)^3} \, dx +\int\limits^4_3 {(\sqrt{4-x}} \, dx .$

$S=\frac{1}{4} (x-2)^4|^3_2+(-\frac{2}{3} (4-x)^{3/2} )=\frac{1}{4}(1-0)-\frac{2}{3} (0-1)=\frac{1}{4}+\frac{2}{3} =\frac{11}{12} .$