Question

Найти предел с помощью второго замечательного предела. Ответ должен получиться e^2.

Answer 1

Преобразуем: $\sf \lim\limits_{n\to\infty}(\frac{n^{3}+n+1}{n^{3}+2})^{2n^{2}}=\lim\limits_{n\to\infty}((1+\frac{n-1}{n^{3}+2})^{n^{2}})^{2}$

Из второго замечательного предела следует: $\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{n-1}{n^{3}+2})^{\frac{n^{3}+2}{n-1}}=e$;

Однако $\lim\limits_{n\to\infty} (1+\frac{n-1}{n^{3}+2})^{\frac{n^{3}+2}{n-1}} = \lim\limits_{n\to\infty} (1+\frac{n-1}{n^{3}+2})^{n^{2}}=e\Rightarrow \lim\limits_{n\to\infty} (1+\frac{n-1}{n^{3}+2})^{2n^{2}}=e^{2}$