Question

Сижу уже минут 20 ((( Буду благодарна за помощь

$xcos \frac{y}{x} ( - ydx + xdy) = {x}^{2}sin \frac{y}{x}dx$
​

Answer 1

$x\cos \frac{y}{x}(-ydx+xdy)=x^2\sin\frac{y}{x}dx~~~|:\cos \frac{y}{x}dx\\ \\ x(-y+xy')=x^2{\rm tg}\, \frac{y}{x}\\ \\ xy'-y=x{\rm tg}\, \frac{y}{x}$

Это линейное однородное дифференциальное уравнение.

Пусть y = ux, тогда y' = u'x + u, получим

$-ux+x(u'x+u)=x{\rm tg}\, u\\ \\ u'x^2=x{\rm tg} \, u\\ \\ u'x={\rm tg}\, u~~~\Rightarrow~~~ \displaystyle \int\dfrac{d\sin u}{\sin u}=\int \dfrac{dx}{x}~~~\Rightarrow~~~ \ln|\sin u|=\ln |Cx|\\ \\ \sin u=Cx~~~\Rightarrow~~~~ u=\arcsin \left(Cx\right)$

Сделай обратную замену: u = y/x, получим общее решение:

$y=x\arcsin\left(Cx\right)$