Question

для всіх додатніх a b c d доведіть що $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a} \geq 4$

Answer 1

Скористаємось нерівністю Коші

a/b + b/c ≥ 2√(a/b·b/c); a/b + b/c ≥ 2√(a/c);

c/d + d/a ≥ 2√(c/d·d/a); c/d + d/a ≥ 2√(c/a);

a/b + b/c + c/d + d/a ≥ 2√(a/c) + 2√(c/a) ≥ 2√(2√(a/c) · 2√(c/a))

a/b + b/c + c/d + d/a ≥ 4√(√((a/c) · (c/a)));

a/b + b/c + c/d + d/a ≥ 4√(√1);

a/b + b/c + c/d + d/a ≥ 4

Answer 2

Воспользуемся неравенством Коши для среднего арифметического и среднего геометрического n неотрицательных чисел $a_1, a_2,\ldots , a_n:$

$\frac{a_1+a_2+\ldots + a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n},$

которое можно переписать в виде

$a_1+a_2+\ldots + a_n\ge n\cdot \sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}.$

В нашем случае получаем

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\ge 4\cdot \sqrt[4]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{d}\cdot\frac{d}{a}}=4$