Question

log4(16-16x)>log4(x^2-3x+2) + log4(x+6)

Answer 1

ОДЗ :

1) 16 - 16x > 0

- 16x > - 16

x < 1

2) x² - 3x + 2 > 0

(x - 1)(x - 2) > 0

         +                       -                        +

___________₀___________₀_________

                       1                        2

///////////////////////                       ///////////////////

3) x + 6 > 0

x > - 6

Окончательно : x ∈ (- 6 ; 1)

$log_{4}(16-16x)>log_{4}(x^{2}-3x+2)+log_{4}(x+6)\\\\log_{4}(16-16x)>log_{4}((x^{2}-3x+2)(x+6))\\\\16-16x>(x^{2} -3x+2)(x+6)\\\\16(1-x)-(x-1)(x-2)(x+6)>0\\\\16(1-x)+(1-x)(x-2)(x+6)>0\\\\(1-x)(16+(x-2)(x+6))>0\\\\(1-x)(16+x^{2}+4x- 12)>0\\\\(1-x)(x^{2}+4x+4)>0\\\\(x-1)(x+2)^{2}<0$

        -                        -                          +

_________₀_____________₀___________

                 - 2                            1

/////////////////  /////////////////////////

x ∈ (- ∞ ; - 2) ∪ ( - 2 ; 1)

Окончательный ответ с учётом ОДЗ :

x ∈ (- 6 ; - 2) ∪ (- 2 ; 1)

Answer 2

ОДЗ уравнения

1)16-16х >0; 2)х²-3х+2 >0.       3)  х+6 >0.

первое неравенство справедливо при х меньше 1, второе решаем методом интервалов,

___1_________2________

+              -                  +               Ответом тут будет (-∞;1)∪(2;+∞)

решением третьего неравенства есть х∈(-6;+∞) ОДЗ  уравнения - это пересечение трех ответов, т.е. их общий ответ.х∈ (-6;1),логарифмическая функция с основанием 4 является возрастающей. Поэтому знак неравенства сохраняется и для аргументов. Логарифм от произведения равен сумме логарифмов.

16-16хбольше (x²-3x+2)(x+6), перенесем влево с правой части произвдедение, учитав, что 16-16х=16(1-х), а x²-3x+2=(х-1)(х-2), получим

16(1-х)-(х-1)(х-2)(х+6)>0. (1-х)(16+х²+4х-12) >0.(1-х)(х²+4х+4)>0;(1-х)(х+2)²>0

решим последнее неравенство методом интервалов

___-2________1____  

+               +               -                                                                                                                       с учетом одз ответ (-6;-2)∪(-2;1)