Question

В ящике 76 фруктов, средняя масса фрукта в ящике 100 грамм. Есть как минимум 2 различных по массе фрукта . Средняя масса фруктов меньше 100грамм равна 85 грамм . Средняя масса фруктов больше 100 грамм равна 124 грамм.
а) Может ли быть в ящике равное кол-во фруктов, масса которых больше 100 гр и меньше 100 гр.
б) Может ли быть в ящике меньше 8 фруктов масса которых равна 100 гр.
в) Найдите наибольшую возможную массу фрукта (чтобы удовлетворяло условию)

Answer 1

       

а).

Пусть требуемое в задаче возможно и в ящике есть $x$ ("маленьких") фруктов меньше $100$ грамм. Тогда ("больших") фруктов, чья масса больше

С одной стороны, масса всех фруктов равна $85 \cdot x + 100 \cdot (76 - 2x) + 124 \cdot x$, а с другой стороны - $100 \cdot 76$. Но так как мы говорим об одной и той же группе фруктов, то:

$85 \cdot x + 100 \cdot (76 - 2x) + 124 \cdot x = 100 \cdot 76 \\9x + 100 \cdot 76 = 100 \cdot 76\\9x = 0\\x=0$

Но в задаче сказано, что "есть как минимум $2$ различных по массе фрукта". Но полученный в этом случае результат противоречит условию Из этого заключаем, что описанная ситуация невозможна.

Ответ: нет, не может.

б).

Пусть есть $x$ "маленьких" фруктов и $y$ "больших" (в этом случае "средних" фруктов будет $76-x-y$). Точно также, как и в прошлом пункте, составим уравнение:

$85x + 100 \cdot (76 - x- y) + 124y = 76 \cdot 100\\85x + 124y - 100x - 100y = 0\\24y - 15x = 0\\5x=8y$

Мы получили очень интересный результат: в любом случае отношение количества "маленьких" и "больших" фруктов будет равно $8 : 5$.

Значит, так как $x$ и $y$ обязательно должны быть натуральными, общее число "маленьких" и "больших" фруктов должно делиться на $13$. Такое общее число будет обязательно меньше или равно $13 \cdot 5 = 65$.

Получается, что количество "средних" фруктов больше или равно $76 - 65 = 11$. В ящике их $8$ уж никак не может быть.

Ответ: нет, не может.

в).

Так как в задаче сказано "найдите наибольшую возможную массу фрукта", то наверняка нужно считать массы фруктов целыми числами.

Если есть $y$ "больших" фруктов и $m$ - масса наибольшего,то, чтобы "понизить" значение среднего арифметического (и привести его в итоге к числу $124$), нужно массу остальных "больших" фруктов сделать как можно меньше - в районе $101$ грамма.

Поэтому:

$124y = m + 101 \cdot (y-1)\\23y + 101 = m$

Как было фактически выяснено в прошлом пункте задачи, максимальное значение $y$ равно $65 : 13 \cdot 5 = 25$ (а $m$ максимальное при максимальном значении $y$).

Делаем вывод, что в этом случае:

$m = 23y+101 = 676$.

Теперь проверим, что этот случай нам действительно подходит:

• Есть $25$ "больших" фруктов: масса $24$ из них равна $101$, а масса $1$ составляет $676$ граммов.
• Есть $40$ "маленьких" фруктов: масса каждого - по $85$ граммов.
• И еще $11$ "средних" фруктов, ровно по $100$ граммов.

Средняя масса "больших": $\dfrac{24 \cdot 101 + 1 \cdot 676}{25} = 124$.

Средняя масса "средних": $\dfrac{11 \cdot 100}{11} = 100$.

Средняя масса "маленьких": $\dfrac{40 \cdot 85}{40} = 85$.

Общая средняя масса: $\dfrac{24 \cdot 101 + 1 \cdot 676 + 11 \cdot 100 + 40 \cdot 85}{76} = 100$.

Все сходится!

Ответ: $676$ граммов.