Question

найдите значение выражения

Answer 1

Ответ:

1.   81

2.  16

Объяснение:

1. $log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}b}$ - формула перехода к новому основанию логарифма, =>

$log_{a}b=\frac{1}{log_{b}a}$

$a^{log_{a}b}=b$ - основное логарифмическое тождество

$2^{\frac{1}{log_{3}2}} =2^{loog_{2}3}=3$

$2^{\frac{1}{log_{9}2}}=2^{log_{2}9}=9$

$2^{\frac{1}{log_{27}2}}=2^{log_{2}27}=27$

......

$2^{\frac{1}{log_{2187}2}}= 2187$

3*9*27*....*2187=?

3; 9; 27; ....; 2187 - геометрическая прогрессия

b₁=3, b₂=9, b₃=27, b n=2187. n=?

q=3

$b_{n}=b_{1}*q^{n-1}$

$2187=3*3^{n-1} \\2187=3^{n} \\3^{7}=3^{n}$

n=7

$=\sqrt[7]{3*27*...*2171}=\sqrt[7]{3^{1}*3^{2}*3^{3}*...*3^{7}}=\sqrt[7]{3^{1+2+3+4+5+6+7}}=\sqrt[7]{3^{28}}=\sqrt[4]{(3^{4} )^{8}} =3^{4}=81$

аналогично:

2. $\sqrt[9]{3^{\frac{1}{log_{3}2}}*3^{\frac{1}{log_{4}3}}*3^{\frac{1}{log_{8}3}}*...*3^{\frac{1}{log_{256}3}}}=......\sqrt[9]{2*4*8*...*256}=\sqrt[9]{2^{1}*2^{2}*2^{3}*....*2^{8}}=\sqrt[9]{2^{1+2+3+4+5+6+7+8}}=\sqrt[9]{2^{36}}=\sqrt[9]{(2^{4} )^{9}}=2^{4}=16$