Question

Помогите! 40 баллов!
$log_{4} (x^{2}-4x+2 )-log_{4} (x^{2} -6x+5)=-\frac{1}{2}$

Answer 1

$\log_{4}(x^{2} - 4x + 2) - \log_{4}(x^{2} - 6x + 5) = -\dfrac{1}{2}$

ОДЗ: $\left \{ {\bigg{x^{2} - 4x + 2 > 0} \atop \bigg{x^{2} - 6x + 5 > 0}} \right.$

$\log_{4}\bigg(\dfrac{x^{2} - 4x + 2}{x^{2} - 6x + 5} \bigg) = \log_{4} 4^{-0,5}\\\\\log_{4}\bigg(\dfrac{x^{2} - 4x + 2}{x^{2} - 6x + 5} \bigg) = \log_{4}\dfrac{1}{2}\\\dfrac{x^{2} - 4x + 2}{x^{2} - 6x + 5} = \dfrac{1}{2}\\\\2(x^{2} - 4x + 2) = x^{2} - 6x + 5\\2x^{2} - 8x + 4 = x^{2} - 6x + 5$

$x^{2} - 2x - 1 = 0\\D = (-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 8\\x_{1} = \dfrac{2 + 2\sqrt{2} }{2} = 1 + \sqrt{2}\\x_{2} = \dfrac{2 - 2\sqrt{2} }{2} = 1 - \sqrt{2}$

После проверки с ОДЗ убеждаемся, что только один корень является решением данного уравнения ($x = 1 - \sqrt{2}$).

Ответ: $x = 1 - \sqrt{2}$