Question

$\sqrt{x + 3 - 4 \sqrt{x - 1 } } + \sqrt{x + 8 - 6 \sqrt{x - 1 } } = 1$ Решите уравнение​

Answer 1

ОДЗ: $x-1 \geq 0 \\ x \geq 1$

$\sqrt{x+3-4 \sqrt{x-1}}+ \sqrt{x+8-6 \sqrt{x-1}}=1\\ \sqrt{x+(4-1)-4 \sqrt{x-1}}+ \sqrt{x+(9-1)-6 \sqrt{x-1}}=1\\ \sqrt{x-1-4 \sqrt{x-1}+4}+ \sqrt{x-1-6 \sqrt{x-1}+9}=1\\ \sqrt{( \sqrt{x-1})^2-2*2 \sqrt{x-1}+2^2}+ \sqrt{ (\sqrt{x-1})^2-2*3 \sqrt{x-1}+3^2}=1\\ \sqrt{( \sqrt{x-1}-2)^2}+ \sqrt{ (\sqrt{x-1}-3)^2}=1\\| \sqrt{x-1}-2|+ |\sqrt{x-1}-3|=1\\\\2 \leq \sqrt{x-1}\leq 3 \\ 4 \leq x-1 \leq 9 \\ 5 \leq x \leq 10$

x∈[5;10]

Answer 2

Замена: $\sqrt{x-1}=t\ge 0;\ x=t^2+1;\ \sqrt{t^2-4t+4}+\sqrt{t^2-6t+9}=1;$

$\sqrt{(t-2)^2}+\sqrt{(t-3)^2}=1;\ |t-2|+|t-3|=1$

Вспомним геометрическое определение модуля: |a-b| - это расстояние между a и b. Поэтому уравнение говорит о том, что сумма расстояний от t  до 2 и 3 равна 1. Но расстояние между 1 и 2 тоже равно 1. Поэтому, если t принадлежит отрезку [2;3], сумма расстояний от t до 2 и 3 равна 1, если же t не принадлежит этому отрезку, сумма расстояний больше 1. Поэтому решением уравнения для t служит отрезок [2;3], то есть

$t\in [2;3];\ t^2\in [4;9];\ x=t^2+1\in [5;10]$

Ответ: [5;10]