Question

Диагональ равнобокой трапеции, равная 10 см, образует с основанием угол в 30 градусов. Найти площадь трапеции

Answer 1

Ответ: 25√3 см².

Объяснение:

∠CAD = 30° - по условию; AC = 10 см.

∠BCA = ∠CAD = 30° как накрест лежащие при AD║BC и секущей АС.

Из вершины А проведем перпендикуляр до пересечения с продолжением стороны ВС, см. рисунок.

Из прямоугольного треугольника AHC: против угла 30° катет в два раза меньше гипотенузы, т.е. AH = AC/2 = 10/2 = 5 см

по т. Пифагора: $CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$ см

AD = AE + EF + FD ⇔  AD + BC = AE + EF + BC + FD

AD + BC = AE + EF + EF + FD

Поскольку AE = FD, то AD + BC = 2EF + 2AE = 2(EF+AE)=2CH

AD + BC = 2 * 5√3 = 10√3 см.

$S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot AH=\dfrac{10\sqrt{3}}{2}\cdot 5=25\sqrt{3}$ см²

Answer 2

Следовательно, высота трапеции будет лежать против угла в 30°, и равна половине диагонали, которая является гипотенузой в треугольнике, отсекаемом высотой, т.е. равна 10/2=5/см/

Второй же катет этого треугольника состоит из верхнего основания и кусочка нижнего, который отсекается высотой от нижнего основания. Но это и будет полусумма верхнего и нижнего оснований, т.к. трапеция равнобедренная. И полусумма эта равна произведению гипотенузы на косинус угла в 30°, т.е. 10*√3/2=5√3/см/

Значит, площадь трапеции равна 5*5√3=25√3/см²/