Question

В треугольнике АBC на сторонах АВ и АС выбраны точки М и N так, что ВМ:МА=СN:NA=1:2. Оказалось , что отрезок МN содержит центр окружности , вписанной в треугольник АВС. Найдите ВС , если АВ=6 АС=3.

Answer 1

Будем пользоваться теоремой о биссектрисе.

Она заключается в следующем: отношение сторон треугольника, содержащихся в угле, из которого проведена биссектриса, равна отношению отрезков, на которые делит биссектриса противолежащую сторону.

Назовем точку пересечения MN и биссектрисы AK через R; Тогда из данного в условии легко вывести, что биссектриса угла C проходит через R. Пусть RC ∩ AB = F; Пусть AM=2x, MB=x. Тогда x=2; По теореме Менелая для треугольника AMN: $\frac{AF}{FM}\frac{MR}{RN}\frac{NC}{AC}=1 \Rightarrow \frac{AF}{FM} =\frac{1}{2\times\frac{1}{3} } =\frac{3}{2}$, ну а отсюда легко получить AF=2,4 и FM=1,6; Значит BF=3,6 и AF=2,4; По вышеизложенной теореме о биссектрисе имеем: $\frac{BC}{AC}= \frac{BF}{AF}\Leftrightarrow BC=\frac{AC\times BF}{AF}=\frac{3\times 3,6}{2,4}=4,5$

Answer 2

Ответ:

4,5

Объяснение: