Question

Найти общее решение дифференциального уравнения
$(x^2+2x+1)y'-(x+1)y=x-1$

Answer 1

Ответ: y = -x/(x+1) + C(x+1)

Пошаговое объяснение:

$(x+1)^2y'-(x+1)y=x-1~~|:(x+1)\\ \\ y'-\dfrac{y}{x+1}=\dfrac{x-1}{(x+1)^2}$

Домножим левую и правую части уравнения на $\dfrac{1}{x+1}$, имеем:

$\dfrac{1}{x+1}\cdot\dfrac{dy}{dx}-\dfrac{y}{(x+1)^2}=\dfrac{x-1}{(x+1)^3}\\ \\ \dfrac{1}{x+1}\cdot \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x+1}\right)\cdot y=\dfrac{x-1}{(x+1)^3}\\ \\ \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{y}{x+1}\right)=\dfrac{x-1}{(x+1)^3}\\ \\ \displaystyle \int \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{y}{x+1}\right)dx=\int\dfrac{x-1}{(x+1)^3}dx\\ \\ \dfrac{y}{x+1}=-\dfrac{x}{(x+1)^2}+C\\ \\ y=-\dfrac{x}{x+1}+C(x+1)$