Question

Помогите решить функцию y=x^3+4/x^2
1.ОДЗ
2. четная/нечетная
3. Асимптоты
4. Нули функции
5. Монотонность, возрастание и убывание
6. Точки экстремума
7. Выпуклость и вогнутость
8. График функции

Answer 1

$y=\frac{x^3+4}{x^2}=x+\frac{4}{x^2}\\\\1.\; \; ODZ:\; \; x\ne 0\\\\2)\; \; y(-x)=\frac{(-x)^3+4}{(-x)^2}=\frac{-x^3+4}{x^2}\; ,\\\\y(-x)\ne y(x)\; ,\; \; y(-x)\ne -y(x)$

Функция общего вида ( не явл. ни чётной, ни нечётной).

$3)\; \; \lim\limits _{x \to 0}\Big (x+\frac{4}{x^2}\Big )=0+\infty =\infty \; \; \Rightarrow \; \; x=0\; -\; vertikalnaya\; asimptota\\\\\lim\limits _{x \to \infty}\frac{x^3+4}{x^2}=\infty \\\\y=kx+b\\\\k=\lim\limits _{x \to \infty}\frac{y(x)}{x}=\lim\limits _{x \to \infty}\frac{x^3+4}{x^2\cdot x}=1\\\\b=\lim\limits _{x \to \infty}(y(x)-kx)=\lim\limits _{x \to \infty}(\frac{x^3+4}{x^2}-x)=\lim\limits _{x \to \infty}\frac{4}{x^2}=0\\\\y=x\; -\; naklonnaya\; asimptota\\\\4)\; \; \frac{x^3+4}{x^2}=0\; \; \to\; \; x^3+4=0\; ,\; \; x=-\sqrt[3]{4}$

$5)\; \; y'=(x+\frac{4}{x^2})'=1-\frac{4\cdot 2x}{x^4}=1-\frac{8}{x^3}=\frac{x^3-8}{x^3}=0$

$x^3=8\; ,\; \; x=\sqrt[3]8=2\; \; ,\; \; x\ne 0\\\\znaki\; y'(x):\; \; +++(0)---[\, 2\, ]+++\\\\.\qquad \qquad \qquad \; \; \nearrow \; \; (0)\; \; \; \; \searrow \; \; [\, 2\, ]\; \; \; \nearrow \\\\6)\; \; x_{min}=2\; \; ,\; \; y_{min}=y(2)=3\\\\7)\; \; y''=(1-\frac{8}{x^3})'=\frac{8\cdot 3x^2}{x^6}=\frac{24}{x^4}>0\; \; pri\; \; x\in ODZ\; (x\ne 0\; )\; \; \to \\\\y(x)\; vognyta\; \; pri\; \; x\in ODZ$