Question

$y = - x {}^{4} + 4x {}^{3} - 3$
Дана эта формула
Нужно исследовать её на монотонность
Найти на каких промежутках возрастает и убывает
Найти экстремумы (Уmin и Уmax)
И найти Унаиб и Унаим
Это делается по алгоритмам
И также нужно сделать график функции
Алгоритм связан с дифиринцированием и критическим точками. Буду нереально благодарен. Если есть вопросы, то задавайте ​

Answer 1

$y=-x^4+4x^3-3\\y'=-4x^3+12x^2=-4x^2(x-3)$

Как видно производная обращается в ноль при x=3 и x=0 это критические точки, используем метод интервалов, для определения знака производной на промежутках.

При x=0, производная не меняет знак, значит это не экстремум функции. При x=3, производная меняет знак с плюса на минус, значит это минимум функции.

$y(3)=-81+4*27-3=-84+108=24;Y_{min}(3;24)$

На (-∞;0)∪(0;3) функция растёт.

На (3;+∞) функция убывает.

Функция общего вида (не обладает чётность или нечётностью)

Найдём точки перегиба функции.

$y''=(-4x^3+12x^2)'=-12x^2+24x=-12x(x-2)$

x=0 и x=2 это точки перегиба.

На (-∞;0)∪(2;+∞) функция выпукла вверх.

На (0;2) функция выпукла вниз.

Найдём координаты всего чего ещё не нашли.

$y(0)=-3;(0;-3)\\y(0)=-3\\y(2)=-16+4*8-3=16-3=13$

Можем строить.

Наименьшее значение (-∞;-∞) и (+∞;-∞)

Наибольшее значение (3;24)