Question

развязать интеграл (определения(визначення) интеграла)ОТ РУКИ НА ЛИСТКЕ​

Answer 1

$1)\; \; \int \limits _0^2\, x\cdot e^{\frac{x}{2}}\, dx=[u=x,\; du=dx,\; dv=e^{\frac{x}{2}}\, dx,\; v=2e^{\frac{x}{2}}\; ]=uv-\int v\, du=\\\\=2xe^{\frac{x}{2}}\Big |_0^2-2\int\limits^2_0 e^{\frac{x}{2}}\, dx=4e-4e^{\frac{x}{2}}\Big |_0^2=4e-(4e-4)=4$

$2)\; \; \int\limits^{ln3}_{ln2}\, \frac{dx}{e^{x}-e^{-x}}=\int\limits^{ln3}_{ln2}\, \frac{dx}{e^{x}-\frac{1}{e^{x}}}=\int\limits^{ln3}_{ln2}\frac{e^{x}\, dx}{e^{2x}-1}=\int\limits^{ln3}_{ln2}\, \frac{d(e^{x})}{(e^{x})^2-1} =\\\\\\=\frac{1}{2}\cdot ln\Big |\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\Big |\, \Big |_{ln2}^{ln3}=\frac{1}{2}\cdot \Big (ln\frac{2}{4}-ln\frac{1}{3}\Big )=\frac{1}{2}\cdot ln\frac{2\cdot 3}{4\cdot 1}=\frac{1}{2}\cdot ln \frac{3}{2}=ln\sqrt{\frac{3}{2}}$