Question

За якого значення параметра а сума коренів рівняння буде найільшою 6х²+6 (а–1)х-5а+2а² = 0 буде найбільшою

Answer 1

Для начала нужно найти существование корней.

$D=36(a-1)^2-24(-5a+2a^2)\geqslant0~~|:12\\ \\ 3(a-1)^2-2(-5a+2a^2)\geqslant0\\ \\ 3a^2-6a+3+10a-4a^2\geqslant0\\ \\ -a^2+4a+3\geqslant0\\ \\ a^2-4a+4-7\leqslant 0\\ \\ (a-2)^2-7\leqslant 0\\ \\ |a-2|\leqslant \sqrt{7}\\ \\ -\sqrt{7}\leqslant a-2\leqslant \sqrt{7}\\ \\ 2-\sqrt{7}\leqslant a\leqslant 2+\sqrt{7}$

По теореме Виета, сумма корней $x_1+x_2=1-a$

$-2-\sqrt{7}\leqslant -a\leqslant\sqrt{7}-2\\ -1-\sqrt{7}\leqslant 1-a\leqslant\sqrt{7}-1~~~~\Leftrightarrow~~~~ -1-\sqrt{7}\leqslant x_1+x_2\leqslant\sqrt{7}-1$

То есть, $x_1+x_2=\sqrt{7}-1$ - наибольшая и это будет при $a=2-\sqrt{7}$

Ответ: При $a=2-\sqrt{7}$ сумма корней  уравнения  будет наибольшей