Question

Найти значение выражения $\frac{S}{\pi }$

где S - сумма корней (или корень, если он один) уравнения

$arcsin(\frac{1}{2} cosx+\frac{1}{2}) = 4\pi(\pi-x) + x^{2} +\frac{\pi }{2}$

Answer 1

$\arcsin\left(\frac{\cos x+1}{2}\right)=(x-2\pi)^2+\frac{\pi}{2}.$

Левая часть уравнения не больше $\frac{\pi}{2}$ (поскольку арксинус принимает значения в промежутке $\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$), правая часть уравнения не меньше $\frac{\pi}{2}$ (поскольку равна сумме числа $\frac{\pi}{2}$ и квадрата, который, как известно, не бывает отрицательным). Поэтому обе части должны быть равны $\frac{\pi}{2}.$ Откуда $(x-2\pi)^2=0;\ x-2\pi=0;\ x=2\pi.$ Подставляя полученное значение неизвестной в левую часть уравнения, убеждаемся, что и она в этой точке равна требуемому значению: $\arcsin\left(\frac{\cos 2\pi+1}{2}\right)=\arcsin 1=\frac{\pi}{2}.$

Ответ: $S=2\pi$