Question

.Помогите решить интегралы...

Answer 1

$\int\limits_1^{e}\, \frac{dx}{x\cdot ln^3x}=\int\limits^{e}_1\, (lnx)^{-3}\cdot \frac{dx}{x}=\int\limits^{e}_1\, (lnx)^{-3}\cdot d(lnx)=\\\\=\lim\limits _{\varepsilon \to +0}\int\limits^{e}_{1+\varepsilon }\, (lnx)^{-3}\cdot d(lnx)=\lim\limits _{\varepsilon \to +0}\frac{(lnx)^{-2}}{-2}\Big |_{1+\varepsilon }^{e}=\\\\=\lim\limits _{\varepsilon \to +0}\Big (-\frac{1}{2ln^2x}\Big |_{1+\varepsilon }^{e}\Big )=-\frac{1}{2}\lim\limits _{\varepsilon \to +0}\Big (\frac{1}{ln^2e}-\frac{1}{ln^2(1+\varepsilon )}\Big )=$

$=-\frac{1}{2}\cdot (1-\infty )=+\infty \quad [\; lne=1\; ,\; ln1=0\; ]\\\\\\2)\; \; \int \underbrace {x}_{u}\cdot \underbrace {cosx\, dx}_{dv}=[\; du=dx\; ,\; v=sinx\; ]=uv-\int v\, du=\\\\=x\cdot sinx-\int sinx\, dx=x\cdot sinx+cosx+C\; ;\\\\\int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{+\infty }\, x\cdot cosx\, dx=\lim\limits _{B \to +\infty}\int \limits _{\frac{\pi }{2}}^{B}x\cdot cosx\, dx=\lim\limits _{B \to +\infty}(x\cdot sinx+cosx)\Big |_{\frac{\pi}{2}}^B=\\\\=\lim\limits _{B \to +\infty}(B\cdot sinB+cosB-\frac{\pi }{2}-0)=+\infty$