Около прямоугольного треугольника АВС описана окружность. Расстояние от точки А до касательной, проходящей через точку С, в три раза меньше расстояния от точки В до этой касательной.
Чему равен угол ВАС?
Ответы
1. Пусть центр окружности - точка О. Если провести радиус ОС, то ОС⊥А₁В₁, пусть ОС =а.
Тогда АА₁║ОС, как два перпендикуляра к одной прямой А₁В₁, а поскольку АО=ОВ, то по теореме Фалеса А₁С= СВ₁, но тогда в трапеции АВВ₁А₁ ОС - средняя линия, а она, как известно, равна полусумме оснований АА₁ и ВВ₁. Если обозначить ВВ₁=х, то АА₁=3х, тогда средняя линия ОС=(х+3х)/2=
2х.
2. Продолжим АВ до пересечения с А₁В₁ в точке, например, Т. Рассмотрим подобные треугольники ТВВ₁ и ТОС, в них угол Т-общий, углы при вершинах В₁ и С прямые. Составим пропорцию. ТВ/ТО= ВВ₁/ОС,
но т.к. ВВ₁=х, а ОС=2х, то отношение это равно 1/2, т.е. ТО в два раза больше ТВ, В - середина отрезка ТО. Значит, и ТВ равно радиусу 2х.
3. По свойству касательной и секущей ТС²=ТВ*ТА, 2х*3*2х. Т.е ТС²=, 12х²
4. Отношение ТС/ОС рано тангенсу угла ТОС и это отношение равно (Корень из 12х в квадрате)/2х =(2хкорень из 3)/2х= корень из трех. Но это тангенс 60 градусов.
5. Углы ВАС и ВОС опираются на одну и ту же дугу, угол ВАС вписанный в окружность, а угол ВОС -центральный угол, значит, угол ВАС равен половине угла ВОС, угол ТОС=углу ВОС=60градусов. Следовательно, искомый угол ВАС равен половине центрального. т.е. 30 градусов.
ОТвет 30 градусов
Удачи. Спасибо за красивые задачи.)