Question

Линейные диеференцивальное уравнение y'+2y=4x

Answer 1

Ответ:

y(x)=2*x+C*e^(-2*x)-1.

Пошаговое объяснение:

Полагая y(x)=u(x)*v(x) и перенося 4*x в левую часть, приходим к уравнению u'*v+u*v'+2*u*v-4*x=0. Перепишем его в виде v*(u'+2*u)+u*v'-4*x=0. Так как одной из функций u или v можно распорядиться произвольно, то поступим так с u и положим, что она удовлетворяет уравнению u'+2*u=0. Это уравнение приводится к виду du/u=-2*dx. Интегрируя последнее уравнение, находим ln/u/=-2*x, откуда u=e^(-2*x). Так как  (u'+2*u)+u*v'-4*x=0 и при этом u+2*u'=0, то u*v'-4*x=0, или u*v'=4*x. Подставляя сюда u=e^(-2*x), приходим к уравнению v'=4*x*e^(2*x), или dv=4*x*e^(2*x)*dx. Интегрируя это уравнение методом "по частям", находим v=2*x*e^(2*x)-e^(2*x)+C. Отсюда y=u*v=e^(-2*x)*[2*x*e^(2*x)-e^(2*x)+C]=2*x+C*e^(-2*x)-1. Ответ: y(x)=2*x+C*e^(-2*x)-1.