Question

Помогите решить системное уравнение:

Answer 1

$\left\{{{x^{2}+y=2}\atop{y^{2}+x=2}}\right.$

Из первого уравнения выразим у:

$y=2-x^2$

Подставим во второе уравнение:

$(2-x^{2})^2+x=2$

$4-4x^2+4x^4+x=2$

$x^4-4x^2+x+4=2$

$x^4-4x^2+x+2=0$

$(x^4-4x^2)+(x+2)=0$

$x^2(x^2-4)+(x+2)=0$

$x^2(x-2)(x+2)+(x+2)=0$

$(x+2)(x^2(x-2)+1)=0$

$(x+2)(x^3-2x^2+1)=0$

$(x+2)(x^3-x^2-x^2+1)=0$

$(x+2)((x^3-x^2)-(x^2-1))=0$

$(x+2)(x^2(x-1)-(x-1)(x+1))=0$

$(x+2)(x-1)(x^2-x-1)=0$

$1)x+2=0=>x_1=-2$

При $x_1=-2=>y=2-x^2=>y_1=2-(-2)^2=2-4=-2$

$x_1=-2;y_1=-2$

$2)x-1=0=>x_2=1$

При $x_2=1=>y=2-x^2=>y_2=2-1^2=1$

$x_2=1;y_2=1$

$3)x^2-x-1=0$

$D=1-4*1*(-1)=1+4=5=(\sqrt{5})^{2}$

$x_3=\frac{1-\sqrt{5}}{2};$

$=>y_3=2-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2=2-\frac{1-2\sqrt{5}+5}{4}=$

$=\frac{2+2\sqrt{5}}{4}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$x_3=\frac{1-\sqrt{5}}{2};y_3=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$x_4=\frac{1+\sqrt{5}}{2};$

$=>y_4=2-(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2=2-\frac{1+2\sqrt{5}+5}{4}=$

$=2-\frac{3+\sqrt{5}}{2}=\frac{4-3-\sqrt{5}}{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2};$

$x_4=\frac{1+\sqrt{5}}{2};y_4=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

Ответ: {- 2; - 2}; {1;  1}; {$\frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2}$};  {$\frac{1+\sqrt{5}}{2};\frac{1-\sqrt{5}}{2}$}