Question

Найдите точки разрыва функции и определите их типы (задание внутри)

Answer 1

приводим к виду: $F(x)=frac{(x-6)(x+8)}{|x-6|(x+2)(x+8)}$
Основываемся на том, что рациональные функции непрерывны на области определения чтоб найти их предел в точках разрыва:
$lim_{x to 6^+} frac{(x-6)(x+8)}{|x-6|(x+8)(x+2)} = lim_{x to 6^+} frac{(x+8)}{(x+8)(x+2)} = frac{1}{8}$
$lim_{x to 6^-} frac{(x-6)(x+8)}{|x-6|(x+8)(x+2)} = lim_{x to 6^+} frac{(x+8)}{-(x+8)(x+2)} = -frac{1}{8}$
$lim_{x to 6^-} f(x)=- frac{1}{8} neq frac{1}{8}= lim_{x to 6^+} f(x)=>$ точка конечного разрыва.

$lim_{x to -8^-} frac{(x-6)(x+8)}{|x-6|(x+8)(x+2)} = lim_{x to -8^-} frac{1}{-(x+2)} = frac{1}{6}$
$lim_{x to -8^+} frac{(x-6)(x+8)}{|x-6|(x+8)(x+2)} = lim_{x to -8^+} frac{1}{-(x+2)} = frac{1}{6}$
$lim_{x to -8^-}f(x)= frac{1}{6}= lim_{x to -8^+} f(x)=>$ точка устранимого разрыва.

$lim_{x to -2^-} frac{(x-6)(x+8)}{|x-6|(x+8)(x+2)} = lim_{x to -2^-} frac{1}{-(x+2)} = infty$
$lim_{x to -2^+} frac{(x-6)(x+8)}{|x-6|(x+8)(x+2)} = lim_{x to -2^+} frac{1}{-(x+2)} = -infty$
$lim_{x to -2^-} f(x) = infty, lim_{x to -2^+} f(x)= -infty => lim_{x to -2} f(x)=$ф $=>$ точка разрыва второго порядка