Question

В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при ребре основания равен альфа. Найдите объем пирамиды, если боковое ребро - l

Answer 1

Двугранный угол при ребре основания - это угол наклона боковой грани к основанию. Он равен плоскому углу между апофемой и её проекцией на основание.

Примем сторону основания за а. Тогда проекция апофемы равна (а/2).

Отсюда апофема А равна (а/2)/cosα =a/(2cos α).

Возведём в квадрат: А² = а²/(4cos² α).

С другой стороны, апофема как высота боковой грани равна:

А² =  L² - (a/2)².

Приравняем а²/(4cos² α) =  L² - (a/2)²

Отсюда получаем  а² = (4L²cos² α)/(1 + cos² α).

Высота Н пирамиды равна:

H = (a/2)*tg α =  (2Lcos α)*tg α/(2√(1 + cos² α)).

Объём пирамиды равен:

V = (1/3)SoH = (1/3)*(4L²cos² α)/(1 + cos² α)*((2Lcos α)*tg α/(2√(1 + cos² α))).