Question

розвязати диферінційні рівняння dy/dx+2y=e^x

Answer 1

$\dfrac{dy}{dx}+2y=e^x$

Умножим левую и правую части уравнения на $e^{2x}$, получим

$e^{2x}\cdot \dfrac{dy}{dx}+2e^{2x}y=e^{3x}\\ \\ e^{2x}\cdot \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{d}{dx}\left(e^{2x}\right)\cdot y=e^{3x}$

Как видно, в левой части уравнения это производная произведения двух функций, т.е.

$\dfrac{d}{dx}\left(e^{2x}\cdot y\right)=e^{3x}$

Интегрируя обе части уравнения, имеем

$\displaystyle e^{2x}\cdot y=\int e^{3x}dx\\ \\ e^{2x}\cdot y=\dfrac{1}{3}\cdot e^{3x}+C\\ \\ \\ \boxed{y=\dfrac{e^x}{3}+Ce^{-2x}}$

Получили общее решение дифференциального уравнения.