Question

Найдите корень уравнения

Answer 1

Уравнение

$sinx=a$

имеет корни

$x=(-1)^{k}arcsina+\pi k, k\in Z, |a|\leq 1$

1.

Обозначим

$t=\frac{\pi(x-3)}{4}$

Уравнение

$sint=\frac{\sqrt{2}}{2}$

имеет корни

$t=(-1)^{k}arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} +\pi k, k\in Z\\ \\t=(-1)^{k}\frac{\pi}{4}+\pi k, k\in Z$

Обратный переход

$\frac{\pi(x-3) }{4}=(-1)^{k}\frac{\pi}{4}+\pi k, k\in Z\\ \\ x-3=(-1)^{k}+4k,k\in Z\\ \\ x=(-1)^{k}+3+4k,k\in Z$

Наименьший положительный  корень при k=0

х=1+3+4·0=4

2.

Обозначим

$t=\frac{\pi(2x+1)}{4}$

Уравнение

$sint=\frac{\sqrt{2}}{2}$

имеет корни

$t=(-1)^{k}arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} +\pi k, k\in Z\\ \\t=(-1)^{k}\frac{\pi}{4}+\pi k, k\in Z$

Обратный переход

$\frac{\pi(2x+1) }{4}=(-1)^{k}\frac{\pi}{4}+\pi k, k\in Z\\ \\ 2x+1=(-1)^{k}+4k,k\in Z\\ \\ x=\frac{(-1)^{k}-1+4k}{2},k\in Z$

Наибольший отрицательный корень  при k=-1  

х=$\frac{-1-1-4}{2}$ = -3

3.

Обозначим

$t=\frac{\pi(8x+5)}{6}$

Уравнение

$sint=\frac{\sqrt{3}}{2}$

имеет корни

$t=(-1)^{k}arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} +\pi k, k\in Z\\ \\t=(-1)^{k}\frac{\pi}{3}+\pi k, k\in Z$

Обратный переход

$\frac{\pi(8x+5) }{6}=(-1)^{k}\frac{\pi}{3}+\pi k, k\in Z\\ \\ 8x+5=2\cdot (-1)^{k}+6k,k\in Z\\ \\ x=\frac{1}{8}(2\cdot(-1)^{k}-5+6k),k\in Z$

Наибольший отрицательный   корень при k=1

х=$-\frac{1}{8}$

4.

Обозначим

$t=\frac{\pi(8x+9)}{3}$

Уравнение

$sint=\frac{\sqrt{3}}{2}$

имеет корни

$t=(-1)^{k}arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} +\pi k, k\in Z\\ \\t=(-1)^{k}\frac{\pi}{3}+\pi k, k\in Z$

Обратный переход

$\frac{\pi(8x+9)}{3}=(-1)^{k}\frac{\pi}{3}+\pi k, k\in Z\\ \\8x+9=(-1)^{k}+3k,k\in Z\\ \\ x=\frac{(-1)^{k}-9+3k}{8},k\in Z$

Наименьший положительный  корень  при k=4  

х=$\frac{1}{2}$