Question

доведіть, що вираз m^2 + 8m + 17 набуває лише додатних значень при всіх значеннях змінної m. Якого найменшого значення набуває цей вираз і при якому m?

Answer 1

${(m + 4)}^{2} + 1 > 0$

найменше значения при m=-4

Answer 2

якщо дискримінант квадратного рівняння менший нуля, то квадратний тричлен завжди більший нуля.
m²+8m+17=0
D=64-4*17=64-68=-4<0, отже
m²+8m+17>0 при mєR.

Знайдемо похідну даного виразу і прирівняємо до нуля
2m+8=0
m=-4 - критична точка
знайдемо знак похідної на проміжку (-∞;-4) та (-4;+∞)
На проміжку (-∞;-4) похідна має знак мінус, а на проміжку (-4;+∞) знак плюс, це говорить, що точка m=-4 - точка мінімуму, отже
вираз набуває найменшого значення в точці m=-4.
(-4)²+8*(-4)+17=16-32+17=1 - найменше значення виразу.