Question

Помогите решить пожалуйста учебник 8 класс Дорофеев Это надо уметь по главе 3

Answer 1

Задание 1.

а) 3х² + 5х - 2 = 0

D = 5² - 4 * 3 * (-2) = 25 + 24 = 49 = 7²

x₁ = (-5 - 7) / (3 * 2) = -12/6 = -2

x₂ = (-5 + 7) / (3 * 2) = 2/6 = 1/3

Ответ: -2 и 1/3

б) х² -2x - 1 = 0

D = (-2)² - 4 * 1 * (-1) = 4 + 4 = 8

x₁,₂ = (2 ± √8) / 2 = (2 ± 2√2) / 2 = (2(1 ± √2)) / 2 = 1 ± √2

Ответ: 1 ± √2

в) 4x² - 12x + 9 = 0

D = (-12)² - 4 * 4 * 9 = 144 - 144 = 0

x = 12 / (4 * 2) = 12 / 8 = 1,5

Ответ: 1,5

Задание 2.

а) 5x² - 11x + 2 = 0

D = (-11)² - 4 * 5 * 2 = 121 - 40 = 81

1) имеет корни

2) два корня

3) рациональные

б) x² + 3x + 5 = 0

D = 3² - 4 * 5 * 1 = 9 - 20 = -11

1) не имеет корни

2) -

3) -

в) 2x² - x - 2 = 0

D = (-1)² - 4 * 2 * (-2) = 1 + 16 = 17

1) имеет корни

2) два корня

3) иррациональные

г) 9x² + 6x + 1 = 0

D = 6² - 4 * 9 * 1 = 36 - 36 = 0

1) имеет корни

2) один корень

3) рациональный

Задание 3.

а) 3x² = 2x + 4

3x² - 2x - 4 = 0

D = (-2)² - 4 * 3 * (-4) = 4 + 48 = 52

x₁,₂ = (2 ± √52) / (3 * 2) = (2 ± 2√13) / 6 = (2(1 ± √13)) / 6 = (1 ± √13) / 3

Ответ: (1 ± √13) / 3

б) (x - 1)(2x + 3) = -2

2x² - 2x + 3x - 3 + 2 = 0

2x² + x - 1 = 0

D = 1² - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9 = 3²

x₁ = (-1 - 3) / (2 * 2) = -4 / 4 = -1

x₂ = (-1 + 3) / (2 * 2) = 2 / 4 = 0,5

Ответ: -1 и 0,5

в) (x² + 7) / 2 = 4x

x² + 7 = 2 * 4x

x² + 7 = 8x

x² - 8x + 7 = 0

D = (-8)² - 4 * 1 * 7 = 64 - 28 = 36 = 6²

x₁ = (8 - 6) / 2 = 2 / 2 = 1

x₂ = (8 + 6) / 2 = 14 / 2 = 7

Ответ: 1 и 7

Задание 4.

Пусть х м - длина площадки, у м - ширина площадки. S площадки = xy. Составим систему уравнений.

$\tt\displaystyle \left \{ {{2x + 2y = 30\ |:2} \atop {xy =50}} \right. \Longrightarrow \left \{ {{x+y=15} \atop {xy=50}} \right. \Longrightarrow \left \{ {{y=15-x} \atop {xy=50}} \right. \\\\\\x(15-x)=50\\15x-x^{2}=50\\-x^{2}+15x-50=0\\D=15^{2} -4*(-50)*(-1)=225-200=25=5^{2}$

x₁ = (-15 - 5) / (-1 * 2) = -20 / (-2) = 10

x₂ = (-15 + 5) / (-1 * 2) = -10 / (-2) = 5

y = 15 - x

y₁ = 15 - 10 = 5

y₂ = 15 - 5 = 10

⇒ длина площадки составляет 10 м, ширина площадки составляет 5 м

Ответ: 5 м и 10 м

Задание 5.

$\tt\displaystyle \frac{n^{2}+n }{2}=55\\\\n^{2} +n=55*2\\n^{2} +n=110\\n^{2} +n-110=0\\D=1^{2} -4*1*(-110)=1+440=441=21^{2}$

n₁ = (-1 - 21) / 2 = -22 / 2 = -11 - не подходит, т.к. числа натуральные

n₂ = (-1 + 21) / 2 = 20 / 2 = 10

Ответ: 10

Задание 6.

а) 3x² - 2x = 0

x(3x - 2) = 0

x = 0      или      3x - 2 = 0

                          3x = 2

                           x = 2/3

Ответ: 0 и 2/3

б) 2x² + 3x = x²

2x² - x² + 3x = 0

x² + 3x= 0

x(x + 3) = 0

x = 0      или      x + 3 = 0

                          x = -3

Ответ: -3 и 0

в) 2x² - 18 = 0

2x² = 18

x² = 18 / 2

x² = 9

x = ±3

Ответ: ±3

г) 4x² = 9

x² = 9 / 4

x² = 2,25

x = ± 1,5

Ответ: ± 1,5

д) 3x² - 9 = 0

3x² = 9

x² = 9 / 3

x² = 3

x = ± √3

Ответ: ± √3

е) 5x² + 1 = 0

5x² = -1

x² = -1 / 5

x² = -0,2

Ответ: корней нет

Задание 7.

а) x² - 7x + 12 = 0

D = (-7)² - 4 * 1 * 12 = 49 - 48 = 1

x₁ = (7 - 1) / 2 = 6 / 2 = 3

x₂ = (7 + 1) / 2 = 8 / 2 = 4

3 * 4 = 12 - произведение корней

3 + 4 = 7 - сумма корней

знаки положительные

б) 2x² + 3x + 1 = 0

D = 3² - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1

x₁ = (-3 - 1) / (2 * 2) = -4 / 4 = -1

x₂ = (-3 + 1) / (2 * 2) = -2 / 4 = -0,5

-1 * (-0,5) = 0,5 - произведение корней

-1 + (-0,5) = -1 - 0,5 = -1,5 - сумма корней

знаки отрицательные

в) x² - 4x - 32 = 0

D = (-4)² - 4 * 1 * (-32) = 16 + 128 = 144 = 12²

x₁ = (4 - 12) / 2 = -8 / 2 = -4

x₂ = (4 + 12) / 2 = 16 / 2 = 8

-4 * 8 = -32 - произведение корней

-4 + 8 = 8 - 4 = 4 - сумма корней

у первого корня отрицательный знак, у второго - положительный

г) 3x² + 11x - 4 = 0

D = 11² - 4 * 3 * (-4) = 121 + 48 = 169 = 13²

x₁ = (-11 - 13) / (2 * 3) = -24 / 6 = -4

x₂ = (-11 + 13) / (2 * 3) = 2 / 6 = 1/3

-4 * 1/3 = -4/3 = -1 1/3 - произведение корней

-4 + 1/3 = -3 3/3 + 1/3 = -3 2/3 - сумма корней

у первого корня отрицательный знак, у второго - положительный

Задание 8.

а) x² + 6x - 7

Приравняем к нулю

x² + 6x - 7 = 0

D = 6² - 4 * 1 * (-7) = 36 + 28 = 64 = 8²

x₁ = (-6 - 8) / 2 = -14 / 2 = -7

x₂ = (-6 + 8) / 2 = 2 / 2 = 1

x² + 6x - 7 = (x + 7)(x - 1)

б) 4x² - 9x + 2

Приравняем к нулю

4x² - 9x + 2 = 0

D = (-9)² - 4 * 4 * 2 = 81 - 32 = 49 = 7²

x₁ = (9 - 7) / (4 * 2) = 2 / 8 = 1 / 4 = 0,25

x₂ = (9 + 7) / (4 * 2) = 16 / 8 = 2

4x² - 9x + 2 = 4(x - 0,25)(x - 2) = (4x - 1)(x - 2)

в) 3x² - 2x + 1

Приравняем к нулю

3x² - 2x + 1 = 0

D = (-2)² - 4 * 3 * 1 = 4 - 12 = -8

Корней нет, разложить на множители невозможно