Question

Знайдіть шостий член геометрічної прогресії , якщо її другий член дорівнює -4, а сума першого і третього членів дорівнює 10

Answer 1

$\begin{cases}b_2=-4\\b_1+b_3=10\end{cases}\\\\\\b_2=b_1q\\b_3=b_1q^2\\\\\begin{cases}b_1q=-4\\b_1+b_1q^2=10\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_1q=-4\\b_1(1+q^2)=10\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_1=-\frac4q\\-\frac4q(1+q^2)=10\end{cases}\\\\-\frac4q(1+q^2)=10\\-4\cdot(1+q^2)=10q\\-4-4q^2=10q\\4q^2+10q+4=0\\2q^2+5q+2=0\\D=25-4\cdot2\cdot2=9\\q_{1,2}=\frac{-5\pm3}4\\q_1=-2\\q_2=-\frac12$

$\begin{cases}b_{1_1}=2\\q_1=-4\end{cases}\quad\quad\quad u\quad\quad\quad\begin{cases}b_{1_2}=8\\q_2=-\frac12\end{cases}\\b_1=2,\;q=-2\Rightarrow b_6=b_1q^5=2\cdot(-32)=-64\\\\b_1=8,\;q=-\frac12\Rightarrow b_6=b_1q^5=8\cdot\left(-\frac12\right)^5=-\frac8{32}=-\frac14$