Question

СРОЧНО. Доказать, что если а>о и в>о, то а/в²+в/а²≥1/а+1/в

Answer 1

a>0     b>0        

a/b²+b/a²≥1-a+1/b

(a³+b³)/a²b²≥(a+b)/ab

(a+b)(a²-ab+b²)/a²b²-(a+b)/ab≥0

((a+b)(a²-ab+b²)-(a+b)*ab)/a²b²≥0

(a+b)(a²-ab+b²-ab)/a²b²≥0

(a+b)(a²-2ab+b²)/a²b²≥0

(a+b)(a-b)²/a²b²≥0

Так как a>0   b>0   ⇒

(a+b)>0     (a-b)²≥0        a²b²>0    ⇒  (a+b)(a-b)²/a²b²≡≥0  

Таким образом:

a/b²+b/a²≡≥1-a+1/b.