Question

Исследовать функцию и построить её график: y=(x^2)/(x-1)

Решение в 8-мь шагов: 1) Область определения(ООФ); 2) Производная; 3)Критические точки (f(x)=0); 4)Промежутки знакопостоянства; 5) Значения функции в точках max и min; 6) Асимптоты; 7) Точки пересечения с осями; 8) Точки перегиба; 9) При необходимости доп.точки.

Прошу сделать всё подробно, рассматриваю любые варианты подачи информации.

Answer 1

Дано: y = x²/(x-1),

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения: D(y)= X≠ 1 , X∈(-∞;1)∪(1;+∞). Не допускаем деления на 0 в знаменателе.

2. Наклонная асимптота: k = lim(+∞)Y(x0/x = 1

b = 1  и y(x) = x + 1 - асимптота.

3. Разрыв II-го рода при Х = 1. Вертикальных асимптота  - Х = 1.  

4. Нули функции, пересечение с осью ОХ.

x² = 0 .  Нуль функции: y(0) = 0.

5. Интервалы знакопостоянства.  

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;1). Положительна: Y>0 - X∈(1;+∞;)  

6. Проверка на чётность. Есть сдвиг по оси ОХ - нет симметрии ни осевой ни центральной.  

Функция общего фида - ни чётная, ни нечётная: Y(-x) ≠ -Y(x) ,

Y(-x)≠ Y(x).  

7. Поиск экстремумов по первой производной.    

y'(x) = 2*x/(x-1)- x²/(x-1)² = x*(x-2)/(x-1)² = 0.  

x1 = 0,  x2 = 2 - точки экстремумов.

8. Локальный максимум: y(0) = 0, минимум: y(2) = 4.

9. Интервалы монотонности.  

Возрастает - X∈(-∞;0)∪(2;+∞).  Убывает: X∈(0;1)∪(1;2).  

10. Поиск перегибов по второй производной.  

y"(x) = 2/(x-1)³ = 0

Точки перегиба нет, кроме разрыва при Х = 0.    

11. Вогнутая - "ложка"- X∈(1;+∞;), выпуклая - "горка" - X∈(-∞;1);  

12. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).  

13. График функции на рисунке в приложении.