Исследовать функцию и построить её график: y=(x^2)/(x-1)
Решение в 8-мь шагов: 1) Область определения(ООФ); 2) Производная; 3)Критические точки (f(x)=0); 4)Промежутки знакопостоянства; 5) Значения функции в точках max и min; 6) Асимптоты; 7) Точки пересечения с осями; 8) Точки перегиба; 9) При необходимости доп.точки.
Прошу сделать всё подробно, рассматриваю любые варианты подачи информации.
Ответы
Дано: y = x²/(x-1),
ИССЛЕДОВАНИЕ.
1. Область определения: D(y)= X≠ 1 , X∈(-∞;1)∪(1;+∞). Не допускаем деления на 0 в знаменателе.
2. Наклонная асимптота: k = lim(+∞)Y(x0/x = 1
b = 1 и y(x) = x + 1 - асимптота.
3. Разрыв II-го рода при Х = 1. Вертикальных асимптота - Х = 1.
4. Нули функции, пересечение с осью ОХ.
x² = 0 . Нуль функции: y(0) = 0.
5. Интервалы знакопостоянства.
Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;1). Положительна: Y>0 - X∈(1;+∞;)
6. Проверка на чётность. Есть сдвиг по оси ОХ - нет симметрии ни осевой ни центральной.
Функция общего фида - ни чётная, ни нечётная: Y(-x) ≠ -Y(x) ,
Y(-x)≠ Y(x).
7. Поиск экстремумов по первой производной.
y'(x) = 2*x/(x-1)- x²/(x-1)² = x*(x-2)/(x-1)² = 0.
x1 = 0, x2 = 2 - точки экстремумов.
8. Локальный максимум: y(0) = 0, минимум: y(2) = 4.
9. Интервалы монотонности.
Возрастает - X∈(-∞;0)∪(2;+∞). Убывает: X∈(0;1)∪(1;2).
10. Поиск перегибов по второй производной.
y"(x) = 2/(x-1)³ = 0
Точки перегиба нет, кроме разрыва при Х = 0.
11. Вогнутая - "ложка"- X∈(1;+∞;), выпуклая - "горка" - X∈(-∞;1);
12. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).
13. График функции на рисунке в приложении.
