Question

Вычислите интеграл, в ответ впишите полученные коэффициенты α и β.

Answer 1

$\int \frac{5x-4}{x^2-4x+13}\, dx=\int \frac{5x-4}{(x-2)^2+9}\, dx=[\, t=x-2\; ,\; x=t+2\; ,\; dx=dt\,]=\\\\\int \frac{5(t+2)-4}{t^2+9}\, dt=\int \frac{5t+6}{t^2+9}\, dt=\frac{5}{2}\int \frac{2t\, dt}{t^2+9}-4\int \frac{dt}{t^2+9}=\frac{5}{2}\int \frac{d(t^2+9)}{t^2+9}-4\int \frac{dt}{t^2+9}=\\\\=\frac{5}{2}\cdot ln|t^2+9|-4\cdot \frac{1}{3}\cdot arctg\frac{t}{3}+C=\\\\=\frac{5}{2}\cdot ln(x^2-4x+13)-\frac{4}{3}\cdot arctg\frac{x-2}{3}+C\; .\\\\\alpha =\frac{5}{2}\; ,\; \beta =-\frac{4}{3}\; .$