Question

Пожалуйста, помогите решить 3 примера по геометрии.

1) ctg4x=sinxctg4x
2) 2sin2x - 5sinxcosx+3cos2x=0 *первый синус и последний косинус в квадрате
3)cos5xcos3x-=cos4xcos2x

Answer 1

$1)\;ctg4x=\sin xctg4x\\ctg4x-\sin xctg4x=0\\ctg4x(1-\sin4x)=0\\\begin{cases}ctg4x=0\\1-\sin x=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}4x=\frac\pi2+\pi n\\\sin x=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac\pi8+\frac{\pi n}4\\x=(-1)^n\cdot\frac\pi2+\pi n\end{cases},\;n\in\mathbb{Z}$

$2)\;2\sin^2x-5\sin x\cos x+3\cos^2x=0\\2\sin^2x-2\sin x\cos x-3\sin x\cos x+3\cos^2x=0\\2\sin x(\sin x-\cos x)-3\cos x(\sin x-\cos x)=0\\(2\sin x-3\cos x)(\sin x-\cos x)=0\\\begin{cases}2\sin x-3\cos x=0\\\sin x-\cos x\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2\sin x=3\cos x\\\sin x=\cos x\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}tgx=\frac32\\tgx=1\end{cases}\Rightarrow\\\Rightarrow\begin{cases}x=arctg\left(\frac32\right)+\pi n\\x=\frac\pi4+\pi n\end{cases},\;n\in\mathbb{Z}$

$3)\;\cos5x\cos3x=\cos4x\cos2x\\\frac{\cos2x+\cos8x}2=\frac{\cos2x+\cos6x}2\\\cos2x+\cos8x=\cos2x+\cos6x\\\cos8x-\cos6x=0\\\\2\cos7x\cos x=0\\\begin{cases}\cos7x=0\\\cos x=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}7x=\frac\pi2+\pi n\\x=\frac\pi2+\pi n\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac\pi{14}+\frac{\pi n}7\\x=\frac\pi2+\pi n\end{cases},\;n\in\mathbb{Z}$