Question

Решите пожалуйста . А то вообще не знаю как .

Answer 1

Ответ:

Ответ очевиден из условия и равен e т.к второй замечательный предел при x-> 0 но раз просят по правилу так по правилу.

Пошаговое объяснение:

1) прологарифмируем исходное выражение получится

$\lim_{x \to 0} = e^{\frac{ln(1+sin^2x)}{tg^2x}}$ (1)

2) рассмотрим предел показателя степени экспоненты

$\lim_{x \to 0} \frac{ln(1+sin^2x)}{tg^2x} = [\frac{0}{0}]$

появляется неопределенность вида ноль разделить на ноль

3) используем правило Лопиталя для избавления от неопределенности

$\lim_{x \to 0} \frac{ln(1+sin^2x)}{tg^2x} = [\frac{0}{0}]=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{2cosx*sinx}{1+sin^2x} }{\frac{2tgx}{cos^2x} } = \lim_{x \to 0} \frac{2cos^3x*sinx}{2tgx(1+sin^2x)} =\lim_{x \to 0} \frac{cos^3x*sinx}{\frac{sinx}{cosx} (1+sin^2x)}= \lim_{x \to 0} \frac{cos^4x}{1+sin^2x} = \frac{1}{1} =1$

4) подставим полученное значение в предел (1)

$e^1=e$