Question

3x−2y+z=2x^2+y^2
−x+y+3z=a
Найдите все значения а, при каждом из которых система имеет единственное решение

Answer 1

Ответ:

$-\frac{33}{4}$

Пошаговое объяснение:

Выразим из 2-го уравнения $z$:

$z=\frac{x+a-y}{3}$

Подставим в 1-е:

$3x-2y+\frac{x+a-y}{3} =2x^2+y^2\Leftrightarrow 9x-6y+x+a-y=6x^2+3y^2$

Откуда $a=6x^2-10x+3y^2+7y$

$a=6(x-\frac{5}{6})^2-\frac{25}{6}+3(y+\frac{7}{6})^2 -\frac{49}{12}=6(x-\frac{5}{6})^2+3(y+\frac{7}{6})^2-\frac{33}{4}$

Откуда для единственности x;y;a получаем, что

$x=\frac{5}{6}; \ \ \ y=-\frac{7}{6}; \ \ \ a=-\frac{33}{4}$

Тогда $z=-\frac{25}{12}$

То есть у системы единственное решение возможно при $a=-\frac{33}{4}$

и это $(\frac{5}{6}; -\frac{7}{6}; -\frac{25}{12})$