Question

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Answer 1

Ответ:

$y=(C_{1}+C_{2}x)e^{-3x}$

Пошаговое объяснение:

это однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка, найдем решение вида

$y=e^{kx}$, где к - некоторое число.

Подставим в уравнение:

$(e^{kx})''-6*(e^{kx})'+9*e^{kx}=0\\k^{2}*e^{kx}-6k*e^{kx}+9*e^kx}=0|*e^{-kx}\\k^{2}-6k+9=0$

кстати, это называется характеристическое уравнение дифференциального однородного уравнения..

$k_{1}=k_{2}=-3$

Таким образом решение:

$y=(C_{1}+C_{2}x)e^{-3x}$

P.S.

по Вашим данным можно найти и частное решение:

$y(0)=1:\\1=(C_{1}+C_{2}*0)e^{(-3*0)}\\1=C_{1}*e^{0}=C_{1}\\y(x)=(1+C_{2}x)e^{-3x}\\y'(0)=0:\\y'(x)=(e^{-3x}+C_{2}xe^{-3x})'=(e^{-3x})'+C_{2}(xe^{-3x})'=-3*e^{-3x}+C_{2}(e^{-3x}-3xe^{-3x})=(-3+C_{2}(1-3x))e^{-3x}\\0=(-3+C_{2}(1-3*0))e^{(-3*0)}=(-3+C_{2})*1;C_{2}=3\\\\y(x)=(1+3x)e^{-3x}$

Answer 2

$y''-6y'+9y=0\; \; ,\; \; y(0)=1\; ,\; y'(0)=0\\\\1)\; \; k^2-6k+9=0\; \; \to \; \; (k-3)^2=0\; ,\; \; k_1=k_2=3\; \; \Rightarrow \\\\\underline {y_{obshee}=C_1\cdot e^{3x}+C_2\cdot e^{3x}=e^{3x}\cdot (C_1+C_2x)}\\\\2)\; \; y(0)=1:\; \; 1=e^0\cdot (C_1+C_2\cdot 0)\; ,\; \; 1=C_1\; ,\\\\y'_{obshee}=3\, e^{3x}\cdot (C_1+C_2x)+e^{3x}\cdot C_2\; ,\\\\y'(0)=0:\; \; 0=3\cdot C_1+C_2\; ,\; \; 3\cdot 1+C_2=0\; ,\; C_2=-3\; ,\\\\\underline {y_{chastn}=e^{3x}\cdot (1-3x)}$