Question

При всех значениях параметра а решите уравнение:

(а^2-4)x=a+2

Answer 1

Ответ:

Дано линейное параметрическое уравнение: (a²-4)·x=a+2.

1-случай.

(a²-4)≠0 ⇔  (a+2)·(a-2)≠0 ⇔ a≠ -2, a≠ 2 ⇔ a∈(-∞; -2)∪(-2; 2)∪(2; +∞).

Тогда решение единственное:

$\displaystyle \tt x=\frac{a+2}{a^2-4}=\frac{a+2}{(a+2) \cdot (a-2)}= \frac{1}{a-2}.$

2-случай:

$\displaystyle \tt \left \{ {{a^2-4=0} \atop {a+2 \neq 0}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a+2= 0, \; a-2= 0} \atop {a+2\neq 0}} \right. \Rightarrow a-2= 0 \Leftrightarrow a=2.$

При a=2 получаем уравнение вида:

0·x = 2+2 ⇔ 0 = 4.

Последнее невозможно, откуда следует, что в этом случае нет корней: x∈∅.

3-случай:

$\displaystyle \tt \left \{ {{a^2-4=0} \atop {a+2 = 0}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a+2= 0, \; a-2= 0} \atop {a+2 = 0}} \right. \Rightarrow a+2= 0 \Rightarrow a= -2.$

При a= -2 получаем уравнение вида:

0·x = -2+2 ⇔ 0=0.

Последнее имеет место для любого x∈(-∞; +∞).