Question

помогите вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений, пожалуйста

Answer 1

$|\vec{a}|=2\; ,\; \; |\vec{b}|=3\; ,\; \angle (\vec{a},\vec{b})=\frac{\pi }{6}\\\\(2\vec{a}-\vec{b})\cdot (3\vec{a}+4\vec{b})=2\vec{a}\cdot 3\vec{a}+2\vec{a}\cdot 4\vec{b}-\vec{b}\cdot 3\vec{a}-\vec{b}\cdot 4\vec{b}=\\\\=6(\vec{a}\cdot \vec{a})+8(\vec{a}\cdot \vec{b})-3({\underbrace {\vec{b}\cdot \vec{a}}_{\vec{a}\cdot \vec{b}})-4(\vec{b}\cdot \vec{b})=6\cdot \vec{a}^2+5\cdot (\vec{a}\cdot \vec{b})-4\cdot \vec{b}^2=$

$=6\cdot |\vec{a}|^2+5\cdot |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos\frac{\pi }{6}-4\cdot |\vec{b}|^2=6\cdot 4+5\cdot 2\cdot 3\cdot \frac{\sqrt3}{2}-4\cdot 9=\\\\=15\sqrt3-12\\\\\\2)\; \; (2\vec{a}-\vec{b})\times (3\vec{a}+4\vec{b})=6(\underbrace {\vec{a}\times \vec{a}}_{\vec{0}})+8(\vec{a}\times \vec{b})-3(\vec{b}\times \vec{a})-4(\underbrace {\vec{b}\times \vec{b}}_{\vec{0}})=\\\\=8(\vec{a}\times \vec{b})-3(-(\vec{a}\times \vec{b}))=8(\vec{a}\times \vec{b})+3(\vec{a}\times \vec{b})=11(\vec{a}\times \vce{b})\; ;$

$|\, (2\vec{a}-\vec{b})\times (3\vec {a}+4\vec{b})\, |=|\, 11(\vec{a}\times \vec{b})\, |=11\cdot |\vec{a}\times \vec{b}|=\\\\=11\cdot |\vec{a}\cdot |\vec{b}|\cdot sin\frac{\pi }{6}=11\cdot 2\cdot 3\cdot \frac{1}{2}=33$