Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми

y=e^x,y=e^-x,x=1

Answer 1

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми.

Для решения задачи в первую очередь нужно построить график.

По графику видно, что найти нужно площадь области, лежащей над $\bf y = e^{-x}$ и под $\bf y = e^x$.

Найдём точку пересечения данных кривых. Для этого нужно решить систему из уравнений их функций.

$\begin{cases}y = e^x,\\y = e^{-x};\end{cases}\Longrightarrow\; e^x = e^{-x}\Longrightarrow\; \bf x = 0.$

По графику прямая $\bf x = 0$ будет являться границей фигурой слева, а прямая $\bf x = 1$ — справа.

Найти площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции $\bf y = e^{x}$, а снизу функцией $\bf y = e^{-x}$, а так же прямыми $\bf x = 0$ и $\bf x = 1$, значит вычислить следующий определённый интеграл.

$\int\limits_0^1{\left(e^x - e^{-x}\right)}dx = \int\limits_0^1{e^xdx - \int\limits_0^1e^{-x}}dx = e^x|_0^1 - \left(-e^{-x}\right)|_0^1 = e - 1 - \left(-\dfrac{1}{e} - (-1)\right) =\\= e - 1 - \left(-\dfrac{1}{e} + 1\right) = e - 1 + \dfrac{1}{e} - 1 = e + \dfrac{1}{e} - 2 \approx 1,086.$

Ответ: $\bf e + \dfrac{1}{e} - 2 \approx 1,086.$